½* ¾*5/6*…*(2n-1)/2n<1/sqrt(3n)

I. ½* ¾*5/6*…*(2n-1)/2n<=1/sqrt(3n+1)

1). C1: ½<= 1/2
2). Ф n<-|N: Cn-true ; C(n+1) –true?

A(n+1)= ½ * ¾ * 5/6 *… * (2n+1)/(2n+2)=An * (2n+1)/(2(n+1))<=
<=1/sqrt(3n+1) * (2n+1)/(2(n+1))<(?)1/sqrt(3n+4)

Лемма:
x,y <- P x<yx^2<y^2

==>: Ф x,y<-P x<y
y - x<-P |
| => y^2-x^2<-P =>x^2<y^2
y + x<-P |

:y^2 - x^2<-P (y-x)(y+x)<-P
y+x<-P
Допустим противное: y-x=0?!! y-x<-N?!! =>y-x<-P=>x<y

1/(3n+1) * ((2n+1)^2)/(4(n+1)^2)<=1/3n+4

(3n+1) * (2n+1)^2<=4(n+1)^2 * (3n+4)

Раскроем скобки, сократим и получим:
0<=12n^2 + 28n + 12n + 16- очевидно

II. Теперь попробуем доказать следующее:

½* ¾*5/6*…*(2n-1)/2n<1/sqrt(3n)

1). C1: ½<=1/sqrt(3n) ¼ <= 1/3

2).Ф n<-|N Cn-и ; C(n+1) – true?

A(n+1)=An * (2n+1)/(2n+2)<=1/sqrt(3n) * (2n+1)/2(n+1) <(?) 1/sqrt(3(n+1))

1/(3n) * ((2n+1)^2)/(4(n+1)^2) <= 1/(3(n+1) )

((2n+1)^2)/(4n(n+1))<=1
(2n+1)^2<=4n(n+1) 4n^2 + 4n + 1<= 4n^2 + 4n 1<=0
Противоречие

Но:
Sqrt(3n + 1)>sqrt(3n)

1/sqrt(3n+1)<1/sqrt(3n)

Если имеются 2 высказывания A(n) и B(n) , причем B(n)- очевидное следствие A(n), а также B(n) доказывается математической индукцией, а A(n) –нет, то (A(n),B(n))- называется парадоксальной парой.

1/(2^2) + 1/(3^3) + … +1/(n^n)<1, n>=2

1). C2: 1/(2^2)<1

2). Ф n>=2 Cn – true; C(n+1) – true?

A(n+1)=An + 1/((n+1)^2)<1 + 1/((n+1)^2)<(?)1 ?!!

Дальше идут 2 странных доказательства:
1).1/2 + 1/3 +…+ 1/n<=1/2 , n>=2 – Это вообще неправда, т.к. левая часть уже >= ½
2).sqrt(2) + sqrt(3) + … + sqrt(n) > 1 ,n>=2 – А это вообще очевидно, т.к. sqrt(2)>1

Потом продолжение:

1/(2^2) + 1/(3^3) + … +1/(n^n) < 1-1/n < 1 , n>=2

1). C2: ¼ < 1 – ½
2). Ф n<-N n>=2 Cn-true; C(n+1)true?
A(n+1)=An + 1/((n+1)^2)<1 - 1/n + 1/((n+1)^2) <(?) 1 – 1(n+1)

(!) 1/((n+1) < 1/n - 1/(n+1) = 1/(n(n+1))
(!) (n+1)^2 > n(n+1)
(!) n+1>n – очевидно

Вот это вроде тоже треш, но я его написал.
2^4 + 3^4 + 4^4 +…+ n^4=p^2 где p(насколько я понял) натуральное

1). C1: 1^4=p^2 p=1

2). Ф n<-|N Cn-true; C(n+1) – true?
A(n+1)=An + (n+1)^4=p^2 + (n+1)^4=k^2
S^4=S1^2
1^4 + 2^4 + … + n^4=n^2 * (n+1)^2 / 4=(n * (n+1) / 2)^2 – а вот это неправда