def | Молекулярная физика
 Раздел физики, в котором изучаются физические свойства тел на основе рассмотрения их микроскопического строения.
 В основе молекулярной физики лежит молекулярно-кинетическая теория вещества (МКТ).


= Основные положения МКТ =
# Любое вещество '''дискретно''' (состоит из отдельных частиц).
# Эти частицы находятся в непрерывном хаотическом '''движении'''.
# Эти частицы '''взаимодействуют''' друг с другом.

 def | Молекула (курсивом написано определение из химии)
 Наименьшая частица вещества, обладающая его основными химическими свойствами
 ''и состоящая из атомов, соединённых между собой химическими связями''.

 def | Структурная единица
 Одно- или многоатомная молекула.

 def | Броуновское движение
 Движение мелких твёрдых частиц, взвешенных в жидкости, под действием ударов молекул этой жидкости.


== Взаимодействие молекул ==
Взаимодействие молекул выражается в их взаимном притяжении или отталкивании. Молекулы притягиваются
на расстояниях, больших их диаметра, и отталкиваются на меньших.

'''График, пояснения.'''


== Опытная оценка размера молекул ==
 def | Ангстрем
 <math> 1 A = 10^{-10} m </math>

=== Опыт с оливковым маслом ===
Капля оливкового масла, объём которой составляет приблизительно <math> 1 mm^3 </math>,
растекаясь по поверхности воды, способна образовать пятно площадью <math> 0.6 m^2 </math>,
причём это пятно представляет из себя практически мономолекулярный слой. Зная площадь и
объём этого пятна, можно вычислить его толщину.

<math> V = Sh </math>

<math> h = \frac V s = \frac {10^{-9} m^3} {0.6 m^2} = 1.7 \cdot 10^{-9} m </math>

Эти вычисления неплохо согласуются с действительностью: <math> d \approx 10^{-10} m = 1 A </math>.

=== Опыт со стеариновой кислотой ===
Кристаллы камфоры обладают замечательным свойством - они способны плавать в воде, и при
этом в ней растворимы. Вследствие неровности своей поверхности, растворяются они неравномерно,
в результате чего коэффициент поверхностного натяжения с разных сторон кристалла различается.
Таким образом, растворяясь, они с большой скоростью "прыгают" по поверхности воды.

Стеариновая кислота, как и оливковое масло, также способна растечься почти мономолекулярным слоем
по поверхности воды. К сожалению, она прозрачна, поэтому невозможно визуально определить ни площадь
пятна, ни момент, когда кислота покрывает собой всю поверхность воды в сосуде. И тут на помощь приходят
кристаллы камфоры. Дело в том, что стеариновая кислота способна создать барьер между водой и камфорой,
в котором камфора не растворяется. Таким образом, появляется возможность провести следующий опыт.

Берётся сосуд, наполненный водой, с большой площадью свободной поверхности. В него высыпаются кристаллы
камфоры, которые немедленно начинают растворяться и приходят в движение. Затем по капле в сосуд добавляется
стеариновая кислота. Как только движение кристаллов прекратилось, можно сделать вывод о том, что кислота
покрыла собой всю площадь сосуда. Зная эту площадь, количество капель кислоты, находящихся в сосуде и
объём одной капли, можно вычислить полный объём кислоты в сосуде, а затем и толщину её слоя.


== Масса молекулы. Количество вещества ==
 def | <math> m_0 (X) </math>
 Масса одной молекулы вещества X.

 ex | <math> m_0 (H_2 O) \approx 10^{-26} kg</math>

 def | Относительная молекулярная масса (<math> M_r </math>)
 Величина, равная отношению массы молекулы к <math> \frac 1 {12} </math> массы изотопа углерода <math> {}^{12} C </math>.
 <math> M_r (X) = \frac {m_0 (X)} {\frac 1 {12} m_0 ({}^{12} C)} = \frac {12 m_0 (X)} {m_0 ({}^{12} C)} </math>

 ex | <math> M_r (CO_2) = 12 + 2 \cdot 16 = 44 </math>

 def | Число Авогадро (<math> N_a </math>)
 Количество структурных единиц в 12 г. <math> {}^{12} C </math>.
 <math> N_a = \frac {m_0({}^{12} C) \cdot N_a} {m_0({}^{12} C)} = \frac {0.012 kg} {1.355 \cdot 10^{-26} kg} = 6.02 \cdot 10^{23} </math>

 def | Количество вещества (<math> \nu </math>)
 Отношение количества структурных единиц к числу Авогадро.
 <math> \nu = \frac {N} {N_a} </math>, <math> [\nu] = mole, [N_a] = \frac 1 {mole} </math>.

 def | Моль
 Единица измерения количества вещества. 1 моль - такое количество вещества, что в нём содержится <math> N_a </math> структурных единиц.

 def | Молярная масса
 Масса 1 моля вещества.
 <math> \mu (X) = m_0(X) \cdot N_a, [\mu] = \frac {kg} {mole} </math>.


== Связь между количеством вещества и молярной массой ==
<math> \nu(X) = \frac {N(X)} {N_a} = \frac {m_0(X) N(X)} {m_0(X) N_a} = \frac {m(X)} {\mu(X)} </math>

<math> \nu = \frac m \mu </math>


== Вычисление молярной массы ==
<math> \mu(X) = m_0(X) \cdot N_a = \frac 1 {12} m_0 ({}^{12} C) M_r (X) \cdot \frac {0.012 kg} {m_0 ({}^{12} C)} = 10^{-3} M_r </math>

<math> \mu = 10^{-3} M_r </math>

 ex | <math> \mu(CO_2) = (12 + 2 \cdot 16) \cdot 10^{-3} = 0.044 \frac {kg} {mole} </math>


= Агрегатные состояния вещества =
 def | Агрегатные состояния (АС)
 Состояния одного и того же вещества, переходы между которыми сопровождаются
 скачкообразными изменениями физических свойств этого вещества.

Мы упомянем 4 агрегатных состояния:
* Газообразное
* Жидкое
* Твёрдокристаллическое
* Жидкокристаллическое

Далее за <math> r </math> будет обозначаться расстояние между молекулами, а за <math> d </math> - их диаметр.


=== Газообразное ===
Расположение и движение молекул '''хаотично'''. <math> r \approx 10d </math>


=== Жидкое ===
Молекулы колеблются вокруг '''центров колебаний,''' периодически их меняя. <math> r \approx d </math>


=== Твёрдокристаллическое ===
Связи между молекулами образуют '''решётку,''' где частицы колеблются в положениях равновесия и
взаимодействуют друг с другом; решётка анизотропна. <math> r \approx d </math>

 def | Изотропность
 Одинаковость во всех направлениях.

 def | Анизотропность
 Отрицание изотропности (приставка ани-).

 def | Анизотропные вещества
 Вещества, свойства которых по разным направлениям различны.

{| class="wikitable"
|-
! Состояние !! Взаимодействие !! Порядок
|-
| Газ || нет || нет
|-
| Жидкость || да || нет
|-
| Твёрдое || да || да
|}


=== Жидкокристаллическое ===
Открыто Фридрихом Рейнитцером в 1888 году. Работая с холестерилбензоатом и нагревая
его, он наблюдал за его поведением. Оказалось, что при температуре 145.5 градусов из
твёрдого вещества он становился мутной жидкостью, а при 178.5 градусах эта жидкость
становилась прозрачной. Для разрешения этой загадки он обратился к Отто Леману, физику,
который обнаружил, что оптические свойства этой мутной жидкости очень похожи на свойства кристаллов.


=== Виды жидких кристаллов ===
==== Нематики ====
Название означает "нитеподобные". Молекулы уложены параллельными рядами в длинные нити.


==== Смектики ====
Имеют слоистую структуру, что обуславливает их мылкость. Молекулы уложены в слои, где
расположены перпендикулярно плоскости слоя (у типа A) и под наклоном (у типа С).
Внешним видом расположение молекул напоминает неровный забор.


==== Холестерики ====
Также имеют слоистую структуру, но внутри каждого слоя молекулярная структура напоминает
нематик, причём слои повёрнуты относительно друг друга.

'''Картинка, пояснение.'''


= Кинетическая теория газов =
 def | Идеальный газ
 Простейшая модель реального газа, в которой пренебрегают (1) взаимодействием и (2) размерами молекул.


== Основное уравнение ==
=== Часть первая ===
Рассмотрим движение одной молекулы газа массой <math> m_0 </math> со скоростью
<math> \vec V </math> в направлении, перпендикулярном некоторой стенке. Тогда,
при упругом ударе об эту стенку, по закону сохранения импульса:

<math> m_0 \vec V + \vec P_w = (-m_0 \vec V) + \vec P'_w </math>

Откуда:

<math> \triangle \vec P_w = \vec P'_w - \vec P_w = 2m_0 \vec V </math>


=== Часть вторая ===
Пусть теперь много молекул летит перпендикулярно стенке с одинаковыми скоростями.
Будем рассматривать только часть этой стенки площадью <math> \triangle S </math>.
Будем считать, что молекулы распределены в пространстве равномерно и что в единице
объёма находится <math> n </math> молекул. Заметим, что тогда за время <math> \triangle
t </math> число ударов в стенку будет:

<math> N = n \triangle S V \triangle t </math>

Тогда:

<math> \triangle \vec P_w = (2 m_0 \vec V) N </math>

По второму закону Ньютона:

<math> \vec F_w = \frac {\triangle \vec P_w} {\triangle t} = 2 m_0 \vec {V^2} n \triangle S </math>

Отсюда давление на стенку:

<math> P = \frac {F_w} {\triangle S} = 2 m_0 V^2 n </math>


=== Часть третья ===
Теперь пусть множество молекул летит в произвольном направлении. Разложим вектор скорости каждой
молекулы <math> \vec V </math> на 3 составляющие по осям: <math> \vec V_x, \vec V_y, \vec V_z </math>.
По теореме Пифагора <math> V^2 = V_x^2 + V_y^2 + V_z^2 </math>. Поскольку молекулы летят в произвольном
направлении, в среднем <math> V_x^2 = V_y^2 = V_z^2 </math>, откуда <math> V^2 = 3 V_x^2 </math>. Для
удобства будем считать, что наша стенка расположена перпендикулярно к какой-нибудь из осей, например,
оси <math> x </math>. Тогда давление на стенку со стороны молекул газа будет зависеть только от одной
из составляющих их скоростей, а именно от <math> V_x^2 = \frac 1 3 V^2 </math>. Кроме того, опять-таки
в связи с равномерным рапределением скоростей, половина молекул движется в положительном направлении
оси <math> x </math>, а другая половина - в отрицательном. Нас интересуют только первые, поскольку
именно они оказывают давление на стенку - вторые с ней не сталкиваются, они летят в противоположном
направлении. Таким образом, необходимо добавить ещё два множителя в формулу, полученную нами на
предыдущем шаге:

<math> P = 2 m_0 V^2 n \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 2 </math>.


=== Часть четвёртая ===
Наконец, пусть скорости молекул также различаются. Введём понятие среднеквадратичной скорости:

<math> \overline {V^2} = \sum_{n = 1}^N \frac {V_n^2} 2 </math>

Тогда:

<math> P = 2 m_0 \overline {V^2} n \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 2 = \frac 2 3 \cdot \frac {m_0 \overline {V^2}} 2 n </math>

Обозначив <math> \varepsilon = \frac {m_0 \overline {V^2}} 2 </math>, получаем Великое Уравнение:

<math> P = \frac 2 3 \varepsilon n </math>.


== Абсолютная температура ==
 def | Абсолютная температура (<math> T </math>)
 Физическая величина, равная с точностью до константы средней кинетической энергии молекул идеального газа.

<math> T = c \varepsilon </math>, <math> T \geq 0 </math>, <math> T = 0 \Leftrightarrow \varepsilon = 0 </math>, <math> \varepsilon \neq 0 \Rightarrow T > 0 </math>

<math> c := \frac 2 {3k}, k := 1.38 \cdot 10^{-23}, [k] = \frac {Joule} {K^\circ} </math> - постоянная Больцмана

<math> T = \frac 2 {3k} \varepsilon \rightarrow \varepsilon = \frac 3 2 k T \rightarrow P = nkT </math>


== Степени свободы ==
 def | Число степеней свободы (<math> i </math>)
 Число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве.
 Для молекулы одноатомного газа <math> i = 3 </math>, двухатомного - 5, трёх- и более - 6 (при условии, что молекула жёсткая).

 Th | О распределении энергии по степеням свободы
 В среднем, на каждую степень свободы приходится энергия, равная <math> \frac 1 2 k T </math>, то есть <math> \varepsilon = \frac i 2 k T </math>.


== Следствия Основного Уравнения ==
=== Закон Дальтона ===
Рассмотрим сосуд, заполненный двумя различными газами. Обозначим общее число молекул за <math> N </math>,
число молекул первого газа за <math> N_1 </math>, второго газа - за <math> N_2 </math>. Запишем Основное
Уравнение для этой системы:

<math> P = nkT = \frac N V kT = \frac {N_1 + N_2} V kT = \frac {N_1} V kT + \frac {N_2} V kT = n_1 kT + n_2 kT </math>

Заметим, что в правой части также стоят какие-то давления, а именно, давления, которые бы оказывали эти
газы, если бы они по отдельности наполняли сосуд. Такие давления называются ''парциальными'' (частичными).
Таким образом, закон Дальтона формулируется следующим образом:

Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений: <math> P = P_1 + P_2 </math>


=== Уравнение Менделеева-Клапейрона ===
<math> P = nkT = \frac N V kT = \frac {N_a \nu} V kT = \dots </math>

Введём новое обозначение: <math> R := N_a \cdot k = 6.02 \cdot 10^{23} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} = 8.31 \frac {Joule} {mole \cdot K^\circ} </math>.
Эта величина носит название ''универсальной газовой постоянной''.

<math> \dots = \frac \nu V RT </math>

<math> PV = \nu RT </math>

Здесь величины <math> P, V, T </math> называются ''параметрами состояния газа.''


== Термодинамические процессы ==
 def | Термодинамический процесс
 Процесс, в котором изменяется хотя бы один из параметров состояния газа.

 def | Изопроцесс
 Термодинамический процесс, в котором один из параметров газа неизменен.


=== Изотермический процесс ===
 def | Изотермический процесс
 Изопроцесс, в котором постоянными остаются количество газа и температура.

<math> \nu, T = const \Rightarrow PV = const </math> - закон Бойля-Мариотта


=== Изобарический процесс ===
 def | Изобарический процесс
 Изопроцесс, в котором постоянными остаются количество газа и давление.

<math> \nu, P = const \Rightarrow V = \frac {\nu R} P T = const \cdot T </math> - закон Шарля


=== Изохорический процесс ===
 def | Изохорический процесс
 Изопроцесс, в котором постоянными остаются количество газа и объём.

<math> \nu, V = const \Rightarrow P = \frac {\nu R} V T = const \cdot T </math> - закон Гей-Люссака


=== Адиабатический процесс ===
 def | Адиабатический (адиабатный) процесс
 Термодинамический процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой.

<math> PV^\gamma = const, \gamma = 1 + \frac 2 i > 1 </math> - уравнение Пуассона


=== Циклические процессы ===
 def | Циклический процесс
 Термодинамический процесс, в результате которого газ возвращается в исходное состояние.

'''Графики, пояснения.'''


== Распределения Максвелла и Больцмана ==
=== Распределение Максвелла ===
 def | Распределение Максвелла
 Распределение молекул по скоростям.

Рассмотрим замкнутый сосуд с идеальным (одноатомным) газом в количестве <math> N </math> молекул при
температуре <math> T </math> и массе каждой молекулы <math> m_0 </math>. Максвелл получил
следующую формулу для количества молекул, двигающихся в данном интервале скоростей
<math> [V; V + \triangle V] </math>:

<math> \frac {\triangle N} N = f(V, T) \cdot \triangle V </math>

<math> f(V, T) = \frac 4 {V \sqrt {\pi}} \left ( \frac {m_0 V} {2kT} \right ) ^ {\frac 3 2} e^{- \frac {m_0 V^2} {2kT}} </math>

График этой функции - пологая кривая с единственным локальным максимумом. Скорость, соответствующая
этому максимуму, называется ''наивероятнейшей'', поскольку с ней движется наибольшее число молекул.

<math> V_{most\ possible} = \sqrt {\frac {2kT} {m_0}} \approx 1.41 \sqrt {\frac {kT} {m_0}} </math>

Кроме того, без доказательства нам также давались следующие формулы:

<math> V_{mean} = \sqrt {\frac {8kT} {\pi m_0}} \approx 1.60 \sqrt {\frac {kT} {m_0}} </math>

<math> V_{mean\ square} = \sqrt {\frac {3kT} {m_0}} \approx 1.73 \sqrt {\frac {kT} {m_0}} </math>

Нетрудно заметить, что их связывает неравенство:

<math> V_{most\ possible} < V_{mean} < V_{mean\ square} </math>

И ещё одна простенькая формула, непонятно каким образом оказавшаяся у меня в конспекте:

<math> V_{mean\ square} = \sqrt {\frac {3kT} {m_0}} = \sqrt {\frac {3k N_a T} {m_0 N_a}} = \sqrt {\frac {3RT} {\mu}} </math>


=== Опыт Штерна ===
Этот опыт позволяет оценить реальную скорость молекул. Для его проведения необходимы два цилиндра,
радиусами <math> R_1 </math> и <math> R_2 </math>, вставленные один в другой и жёстко скреплённые,
а также платиновая нить с серебряным напылением, находящаяся в общей оси вращения этих цилиндров.
Во внутреннем цилиндре должна быть узкая прорезь, параллельная его
оси. Всю конструкцию раскручивают с большой скоростью <math> \omega </math>:

<math> \omega \approx 1500 \frac {turns} {sec} = 1500 \cdot 2 \pi \frac 1 {sec} </math>.

Обозначим искомую скорость молекул за <math> V </math>, время, за которое они пролетают от
прорези к внешнему цилиндру - за <math> \triangle t </math>, угол, на который успевает повернуться
вся конструкция за это время - за <math> \triangle \phi </math>. Пусть в результате эксперимента
на стенке внешнего цилиндра осталась полоска напыления из улетевших молекул металла шириной
<math> \triangle S </math>. Тогда:

<math> \triangle t = \frac {R_2 - R_1} V </math>

<math> \frac {\triangle S} {R_2} = \triangle \phi = \omega \triangle t </math>

<math> V = \omega \frac {R_2 - R_1} {\triangle S} R_2 </math>

Выяснилось, что экспериментальные результаты приблизительно совпадают со среднеквадратичной скоростью, вычисленной теоретически.


=== Распределение Больцмана ===
 def | Распределение Больцмана
 Распределение молекул по высоте.

Пусть перпендикулярно некоторой плоскости действует сила тяжести <math> m \vec g </math>. Больцман получил
формулу, связывающую высоту над этой плоскостью с количеством молекул в единице объёма.

<math> n(z) = n_0 \cdot e^{- \frac {m_0 g z} {kT}} </math>

Где <math> n_0 </math> обозначает количество молекул на нулевой высоте; кроме этого, все обозначения стандартны.
Заметим, что, так как давление прямо пропорционально количеству молекул, из этой формулы следует другая:

<math> P = nkT </math>

<math> P(z) = p_0 \cdot e^{- \frac {m_0 g z} {kT}} = p_0 \cdot e^{- \frac {\mu g z} {RT}} </math>


== Газ Ван-дер-Ваальса ==
Модель газа Ван-дер-Ваальса - это попытка создать простую модель реального газа, которая учитывала бы
и размеры молекул, и их взаимодействие. Для этого предпринимается простой трюк. Возьмём уравнение
Менделеева-Клапейрона.

<math> PV = \nu RT </math>

Нужно как-то изменить две величины, стоящие слева. Делается это очень просто. Поскольку молекулы
взаимодействуют, к <math> P </math> прибавим давление, вызываемое взаимодействием (''когезионное давление'').
Обозначим его за <math> P' </math>. Оказывается, что это давление обратно пропорционально квадрату
объёма, занимаемого газом:

<math> P \rightarrow P + P', P' = \frac a {V^2}, a = const </math>

Из объёма вычтем объём, занимаемый молекулами:

<math> V \rightarrow V - b </math>

Вот и всё. Итоговое уравнение газа Ван-дер-Ваальса:

<math> (P + \frac a {V^2})(V - b) = \nu RT </math>

'''Графики зависимости давления от объёма для идеального газа, газа Ван-дер-Ваальса и реального газа.'''


= Основы термодинамики =
 def | Термодинамика (ТД)
 Теория явлений, протекающих в макросистемах, то есть в системах, состоящих их множества частиц.

 def | Термодинамическая система (ТДС)
 Объект исследования термодинамики; совокупность макросистем,
 обменивающихся энергией как друг с другом, так и с внешней средой.

 def | Изолированная ТДС
 Не взаимодействующая с внешней средой.

 def | Адиабатически изолированная (теплоизолированная) ТДС
 Отсутствует теплообмен с внешней средой.

 def | Замкнутая ТДС
 Отсутствует обмен веществом с внешней средой.
 В противном случае ТДС называется открытой.

 def | Параметры состояния ТДС
 Совокупность измеримых физических величин, характеризующих макросвойства системы.

 def | Термодинамическое равновесие
 Состояние системы, не изменяющееся с течением времени.

 def | Уравнение состояния
 Функциональное соотношение между термодинамическими параметрами системы, находящейся в равновесии.

 def | Термодинамический процесс
 Процесс, в котором изменяются значения параметров состояния термодинамической системы.

 def | Внутренняя энергия системы (<math> U </math>)
 Сумма энергий всех частиц системы.
 В термодинамике обычно интерес представляет не сама энергия, а её изменение.

 def | Круговой (циклический) процесс
 Термодинамический процесс, в результате которого система возвращается в исходное состояние.

 def | Тепловое равновесие
 Если 2 изолированные системы <math> \gamma_1 </math> и <math> \gamma_2 </math> привести в контакт друг с другом, и это не приведёт ни к каким изменениям в них,
 то говорят, что эти системы находятся в тепловом равновесии (<math> \gamma_1 \sim \gamma_2 </math>).


== Нулевой закон ==
<math> \gamma_1 \sim \gamma_2 \And \gamma_2 \sim \gamma_3 \Rightarrow \gamma_1 \sim \gamma_3 </math>


== Первый закон ==
Сначала рассмотрим все возможные способы воздействия на термодинамическую систему:
# ''Механическое'' - совершается работа над системой (<math> A' > 0 </math>), или система совершает работу (<math> A' < 0 </math>).
# ''Тепловое'' - системе передаётся тепло (<math> Q > 0 </math>), или система излучает тепло (<math> Q < 0 </math>).
# ''Материальное'' - в систему поступают новые частицы с новой энергией (W > 0), или система теряет частицы с их энергией (W < 0).

=== Основная формулировка ===
Пусть система переходит из состояния 1 с внутренней энергией <math> U_1 </math> в состояние 2 с
внутренней энергией <math> U_2 </math>. Тогда количество энергии <math> E </math>, полученной
системой от внешней среды, равно изменению внутренней энергии системы <math> \triangle U = U_2 - U_1 </math>
и не зависит от способа осуществления перехода от первого состояния ко второму.


=== Различные формы записи ===
# <math> E = \triangle U </math>
# <math> A' + Q + W = \triangle U; A_{sys} := -A' </math>
# <math> Q + W = \triangle U + A_{sys} </math>
# <math> W = 0 \Rightarrow Q = \triangle U + A_{sys} </math>

 def | КПД (<math> \eta </math>)
 Отношение работы, совершённой системой, к работе, совершённой над системой.
 <math> \eta = \frac {\triangle A_{out}} {\triangle A_{in}} </math>

 def | Вечный двигатель 1 рода
 Гипотетическое устройство, в котором реализуется круговой термодинамический
 процесс, и КПД которого больше единицы.

 def | Вечный двигатель 2 рода
 Аналогичное устройство, в котором КПД равен 1.

Таким образом, пятая формулировка первого закона звучит так: принципиально
невозможно создание вечного двигателя 1 рода.


=== Частные случаи ===
<math> \triangle Q = \triangle A + \triangle U </math>


==== Изохорический процесс ====
<math> V = const \Rightarrow \triangle V = 0 </math>

<math> \triangle A = \triangle P \triangle V = 0 </math> - объяснение см. ниже, в части "Работа расширения идеального газа"

<math> \triangle Q = \triangle U </math>


==== Изотермический процесс ====
<math> T = const \Rightarrow \triangle T = 0 </math>

<math> \triangle U = \frac i 2 R \triangle T = 0 </math> - объяснение см. ниже, в части "Внутренняя энергия идеального газа"

<math> \triangle Q = \triangle A </math>


==== Адиабатический процесс ====
<math> \triangle Q = 0 </math>

<math> \triangle U = - \triangle A </math>


==== Изобарический процесс ====
<math> P = const, \triangle Q = \triangle U + \triangle A </math>


== Работа расширения идеального газа ==
Рассмотрим ёмкость объёмом <math> V </math>, ограниченную поршнем с одной стороны,
стенками - с других, заполненную газом под давлением <math> P </math>. Пусть поршень
под давлением газа сдвигается на расстояние <math> \triangle x </math>. Найдём работу,
совершённую газом при расширении (считая, что процесс является изобарическим):

<math> \triangle A = F_{pressure} \triangle x \cos 0^\circ = PS \triangle x = P \triangle V </math>

<math> \triangle A = P \triangle V </math>

<math> A = \sum_k \triangle A_k = \sum_k P \triangle V_k = P \sum_k \triangle V_k = P(V_2 - V_1) </math>

<math> A = P(V_2 - V_1) </math>

Если же процесс не является изобарическим, следует заменить знак суммы на знак интеграла.


== Внутренняя энергия идеального газа ==
Рассмотрим сосуд, содержащий <math> \nu </math> молей идеального газа. Поскольку молекулы идеального
газа друг с другом не взаимодействуют, внутренняя энергия идеального газа исчерпывается кинетической
энергией его молекул. Обозначим за <math> \varepsilon </math> среднюю кинетическую энергию молекул
идеального газа, а за N - их количество. Тогда:

<math> U = E_k = \varepsilon N = \frac i 2 kT \cdot N_a \nu = \frac i 2 \nu RT </math>

<math> U = \frac i 2 \nu RT </math>

<math> \triangle U = \triangle (\frac i 2 RT) = \frac i 2 \nu R \triangle T </math>

<math> \triangle U = \frac i 2 \nu R \triangle T </math>


== Теплоёмкости ==

 def | Теплоёмкость тела (<math> \mathbb C </math>)
 Отношение количества тепла, сообщённого телу, к изменению его температуры.
 <math> \mathbb C = \frac {\triangle Q} {\triangle T} </math>, <math> [\mathbb C] = \frac {Joule} {{}^\circ K} </math>

 def | Удельная теплоёмкость (<math> c </math>)
 Отношение теплоёмкости тела к его массе.
 <math> c = \frac {\mathbb C} m </math>

 def | Молярная теплоёмкость (<math> \hat c </math>)
 Отношение теплоёмкости тела к количеству вещества в нём.
 <math> \hat c = \frac {\mathbb C} \nu </math>

 def | Теплоёмкость при изобарическом процессе (<math> \mathbb C_P </math>)
 <math> \mathbb C_P = \left ( \frac {\triangle Q} {\triangle T} \right )_P </math>

 def | Теплоёмкость при изохорическом процессе (<math> \mathbb C_V </math>)
 <math> \mathbb C_V = \left ( \frac {\triangle Q} {\triangle T} \right )_V </math>

Сразу же докажем одно интересное свойство последней теплоёмкости:

<math> \triangle Q = \triangle U + \triangle A </math> - по Первому закону

<math> \triangle A = P \triangle V </math>

<math> \mathbb C_V = {\left ( \frac {\triangle Q} {\triangle T} \right )}_V =
\left ( \frac {\triangle U + P \triangle V} {\triangle T} \right )_V = \frac {\triangle U} {\triangle T} </math>


=== Теплоёмкость идеального газа ===
Вычислим молярную теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме - <math> \widehat {\mathbb C_V} </math>:

<math> \widehat {\mathbb C_V} = \frac {\mathbb C_V} \nu = \frac {\triangle U} {\triangle T \nu} = \frac {\frac i 2 \nu RT} {\nu \triangle T} = \frac i 2 R </math>

<math> \widehat {\mathbb C_V} = \frac i 2 R </math>


=== Формула Майера ===
Формула Майера связывает понятия <math> \widehat {\mathbb C_V} </math> и <math> \widehat {\mathbb C_P} </math> для идеального газа.

<math>
\widehat {\mathbb C_P} =
\frac {\mathbb C_P} {\nu} =
\frac 1 \nu \cdot \left ( \frac {\triangle Q} {\triangle T} \right )_P =
\frac 1 \nu \cdot \left ( \frac {\triangle U + \triangle A_{sys}} {\triangle T} \right )_P =
\frac 1 \nu \cdot \frac {\triangle U + P \triangle V} {\triangle T} =
\frac 1 \nu \cdot \frac {\triangle U + \nu R \triangle T} {\triangle T} =
\frac {\triangle U} {\nu \triangle T} + R = \widehat {\mathbb C_V} + R
</math>

<math> \widehat {\mathbb C_P} = \widehat {\mathbb C_V} + R </math>

Из этой формулы есть парочка любопытных следствий:

<math> \widehat {\mathbb C_P} = \widehat {\mathbb C_V} + R = \frac i 2 R + R = \frac {i + 2} 2 R </math>

<math> \widehat {\mathbb C_P} = \frac {i + 2} 2 R </math>

<math> \frac {\widehat {\mathbb C_P}} {\widehat {\mathbb C_V}} = \frac {\frac {i + 2} 2 R} {\frac i 2 R} = \frac {i + 2} i = 1 + \frac 2 i = \gamma </math>

<math> \frac {\widehat {\mathbb C_P}} {\widehat {\mathbb C_V}} = \gamma </math>

Да-да, это та самая <math> \gamma </math>, которая вылезала в свойствах адиабатического процесса.


=== Политропический процесс ===
 def | Политропический процесс
 Термодинамический процесс, при протекании которого сохраняются масса и теплоёмкость системы, причём:
 <math> PV^{n(\mathbb C)} = const, n(\mathbb C) = \frac {\mathbb C - \mathbb C_P} {\mathbb C - \mathbb C_V} </math>
 <math> m = const, \mathbb C = const </math>

Далее будут рассмотрены частные случаи политропического процесса.


==== Изотермический процесс ====
<math> \mathbb C \to \infty </math>

<math> n(\infty) = \lim_{\mathbb C \to \infty} \frac {\mathbb C - \mathbb C_P} {\mathbb C - \mathbb C_V} = 1 </math>

<math> PV = const </math>

<math> T = const </math>


==== Адиабатический процесс ====
<math> \mathbb C = 0 </math>

<math> n(0) = \frac {\mathbb C_P} {\mathbb C_V} = \gamma </math>

<math> PV^\gamma = const </math>


==== Изобарический процесс ====
<math> \mathbb C = \mathbb C_P </math>

<math> n(\mathbb C_P) = 0 </math>

<math> P = const </math>


==== Изохорический процесс ====
<math> \mathbb C = \mathbb C_V </math> - теперь делить на 0 можно!

<math> PV^{n(\mathbb C)} = const \Rightarrow P^{\frac 1 {n(\mathbb C)}} V = const </math>

<math> \frac 1 {n(\mathbb C)} = 0 </math>

<math> V = const </math>


== Понятие о тепловых машинах ==
 def | Тепловая машина
 Устройство, преобразующее тепловую энергию в механическую, получающее энергию от нагревателя (<math> \triangle Q_{in} </math>),
 передающее её в рабочее тело, осуществляющее преобразование энергии, и возвращающее её излишки в холодильник (<math> \triangle Q_{out} </math>).

По Первому закону для тепловых машин верна следующая формула:

<math> \triangle A = \triangle Q_{in} + \triangle Q_{out} = \triangle Q_{in} - | \triangle Q_{out} | </math>

На основе этой формулы можно доопределить КПД:

 def | КПД (<math> \eta </math>)
 <math> \eta = \frac {\triangle A} {\triangle Q_{in}} = \frac {\triangle Q_{in} + \triangle Q_{out}} {\triangle Q_{in}} = 1 - \left | \frac {\triangle Q_{in}} {\triangle Q_{out}} \right | </math>

Примером тепловой машины может служить поршень, двигающийся под действием расширяющегося газа.


=== Машина и цикл Карно ===
 def | Машина и цикл Карно
 Тепловая машина, работающая в следующем цикле:
 * Изотермическое расширение
 * Адиабатическое охлаждение
 * Изотермическое сжатие
 * Адиабатическое нагревание


=== Теорема Карно ===
 Th | (Карно)
 КПД машины, работающей по циклу Карно:
 * Не зависит от природы рабочего тела.
 * Является функцией <math> T_{heater} </math> и <math> T_{cooler} </math>, и эта функция имеет вид <math> f(T_{heater}, T_{cooler}) = 1 - \frac {T_{cooler}} {T_{heater}} =: \eta_K </math>
 * При заданных <math> T_{heater} </math> и <math> T_{cooler} </math> для КПД любой другой машины <math> \eta_{any} </math> справедливо неравенство <math> \eta_{any} \leq \eta_K < 1 </math>


== Второй закон ==
==== Формулировка через вечный двигатель ====
Принципиально невозможно создание вечного двигателя 2 рода.


==== Формулировка через потери тепла ====
Принципиально невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение тепла, полученного от нагревателя, в эквивалентную ему работу.


==== Формулировка через нагрев горячего ====
Принципиально невозможен процесс, единственным результатом которого является передача энергии в виде тепла от более холодного тела к более горячему.


== Третий закон ==
Принципиально невозможен процесс, в результате которого тело охладилось бы до абсолютного нуля. Также известен как ''принцип Вальтера Нернста.''


= Взаимные превращения жидкостей и газов =
== Испарение. Конденсация. Насыщенный пар ==
 def | Испарение
 Переход вещества из жидкого состояния в газообразное.

 def | Конденсация
 Переход вещества из газообразного состояния в жидкое.

 def | Насыщенный пар
 Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, т.е. количество молекул,
 вылетающих из жидкости за единицу времени, равно количеству молекул, возвращающихся в жидкость.

 def | Точка росы
 Температура, при которой пар становится насыщенным в результате изохорического охлаждения.

 def | Критическая температура (<math> T_{crit} </math>)
 Температура, при которой исчезает разница в физических свойствах жидкости и насыщенного пара.

Проведём мысленный эксперимент. Возьмём закрытый сосуд, наполовину заполненный водой. Начнём его нагревать,
при этом вода будет испаряться, а концентрация пара - увеличиваться, как и его давление. Вспомним формулу,
полученную для идеального газа:

<math> P = nkT, n \neq const \Rightarrow P = n(T) \cdot kT </math>

При этом <math> n(T) </math> перестанет изменяться только при <math> T \geq T_{crit} </math>, тогда зависимость
давления от температуры станет линейной. До этого момента она не является линейной, однако монотонно возрастает
и выпукла вниз. Кроме того, плотность пара будет нарастать по мере приближения температуры к критической, а
жидкости - убывать, причём совпадут они только при <math> T_{crit} </math>.

 def | Кипение
 Процесс бурного парообразования внутри жидкости.

В первую очередь следует отметить, что процессы кипения и испарения различны. Испарение вполне может происходить
без кипения, однако обратное невозможно по определению. Далее, температура кипения зависит от атмосферного давления.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим процесс кипения более подробно.

В жидкости всегда есть некоторое количество растворённого газа. Часто этот газ собирается в мелкие пузырьки,
скапливающиеся на стенках сосуда с этой жидкостью. Внутрь этих пузарьков жидкость и испаряется. Внутреннее
давление увеличивается, объём тоже увеличивается, вследствие чего он поднимается под действием силы Архимеда.
При пониженном атмосферном давлении объём пузырька увеличивается быстрее, поэтому чем ниже атмосферное давление,
тем ниже температура, необходимая для закипания. Наконец, следует отметить ещё одну тонкость: на пузырёк действует
также давление толщи воды над ним, однако оно ничтожно мало по сравнению с атмосферным, поэтому его можно не учитывать.


== Влажность воздуха ==
 def | Абсолютная влажность (<math> f </math>)
 Величина, численно равная массе пара в единице объёма воздуха.
 <math> f = \frac {m_{vapor}} V = \rho_{vapor}, [f] = \frac {kg} {m^3}</math>

 def | Относительная влажность (<math> \phi </math>)
 Отношение массы пара в единице объёма воздуха (<math> m_1 </math>) к массе пара, необходимого для насыщения того же объёма (<math> m_2 </math>).
 <math> \phi = \frac {m_1} {m_2} = \frac {\rho_1} {\rho_2} = \frac {P_1} {P_2} </math>
 <math> PV = \frac m \mu RT, \  P = \frac {RT} {\mu} \cdot \rho \Rightarrow P \sim \rho \ (T = const) </math>

 def | Гигрометр
 Прибор для измерения влажности воздуха.

Одним из примеров гигрометра является волосный гигрометр, разобранный в курсе 8 класса.


= Поверхностные явления =
== Угол смачивания ==
Разные жидкости смачивают разные поверхности по-разному. Скажем, вода хорошо смачивает стекло -
все видели слегка приподнятый край воды в стеклянном стакане. В то же время, ртуть смачивает стекло
плохо - если её налить в стеклянный стакан, край, которым поверхность ртути касается стенок стакана,
будет изгибаться вниз. Рассмотрим следующий опыт.

На стеклянную плоскую поверхность опустим капли воды и ртути одинакового объёма. При этом мы увидим,
что, растёкшись, капля воды заняла большую площадь, чем капля ртути. Капля воды приняла более плоскую
форму, чем ртуть, которая сохранила форму, близкую к шарообразной. Более того, эти жидкости по-разному
себя ведут вдоль линии, по которой капли касаются поверхности стекла. Угол между поверхностью стекла
и каплей у них различается - у воды он значительно меньше. Именно этот угол и называется ''углом смачивания''
и обычно обозначается за <math> \theta, \theta \in [0, \pi] </math>.

Некоторые важные частные случаи:
* '''Полное смачивание''' - <math> \theta = 0 </math>
* '''Полное несмачивание''' - <math> \theta = \pi </math>


== Свободная поверхность ==
 def | Свободная поверхность (поверхностный слой)
 Мономолекулярный слой жидкости, находящийся на границе раздела жидкости и среды.

Рассмотрим две молекулы жидкости <math> M_1 </math> и <math> M_2 </math>, причём <math> M_1 </math>
принадлежит свободной поверхности, а <math> M_2 </math> находится где-то внутри жидкости. Поскольку
<math> M_2 </math> контактирует только с молекулами жидкости, а <math> M_1 </math> - как с молекулами
жидкости, так и среды, то их потенциальные энергии не равны (<math> E_p(M_1) \neq E_p(M_2) </math>).
Путём таинственных вычислений, которые от нас держат в строгой тайне, было доказано, что <math> E_p(M_1) > E_p(M_2) </math>.

Таким образом, если наряду с поверхностным слоем рассмотреть какой-нибудь другой мономолекулярный
слой такой же площади внутри жидкости, окажется, что по сравнению с ним поверхностный слой обладает
избыточной энергией <math> \triangle E </math>. Обозначим его площадь за <math> \triangle S </math>.


== Коэффициент поверхностного натяжения ==

 def | Коэффициент поверхностного натяжения (КПН, <math> \sigma </math>)
 Отношение избыточной энергии поверхностного слоя <math> \triangle E </math> поверхностного слоя
 жидкости по сравнению с любым другим слоем внутри жидкости к его площади <math> \triangle S </math>.
 <math> \sigma = \frac {\triangle E} {\triangle S}, [\sigma] = \frac {Joule} {m^2} </math>

 def | Коэффициент поверхностного натяжения (КПН, <math> \sigma </math>)
 Величина, численно равная работе, которую необходимо совершить, чтобы изохорически и изотермически
 увеличить площадь свободной поверхности на единицу.
 <math> \sigma = \frac {\triangle A} {\triangle S} \  (V, T = const) </math>

Для того чтобы дать третье, самое необычное, определение КПН - определение по Юнгу, проведём следующую
аналогию. Уподобим поверхность жидкости резиновой плёнке. Мысленно разрежем её. Тогда для компенсации
натяжения нужно тянуть за обрезанный край с силой <math> F </math>. Заметим, что эта сила по модулю равна
силе упругости оставшейся части плёнки. Пусть длина края разреза - <math> l </math>. Обозначим
<math> \sigma^* = \frac F l </math> и рассмотрим работу, которую нужно совершить, для того чтобы растянуть
плёнку на <math> \triangle S </math>, сдвинув разрез на <math> \triangle x </math>.

<math> \triangle A = F \cdot \triangle x = \sigma^* l \triangle x </math>

<math> \sigma^* = \frac {\triangle A} {\triangle S} </math> - а это второе определение!

 def | Коэффициент поверхностного натяжения (КПН, <math> \sigma </math>)
 Величина, численно равная силе, действующей на единицу длины произвольной линии, расположенной
 на поверхности жидкости, перпендикулярно этой линии и по касательной к поверхности раздела.
 <math> \sigma = \frac F l, [\sigma] = \frac N m = \frac {Joule} {m^2} </math>


== Формула Лапласа ==
 def | Капилляр
 Узкая трубка овального (часто круглого) сечения.

 def | Мениск
 Свободная поверхность жидкости, находящейся в капилляре.

Рассмотрим следующий опыт. Пусть некоторый капилляр содержит жидкость, которая плохо смачивает стенки этого
капилляра. В этом случае мениск будет выпуклым вверх. Заметим, что на молекулу жидкости, находящуюся на вершине
мениска будут действовать силы притяжения со стороны соседних молекул. Со всех сторон эти силы равны вследствие
равномерности распределения молекул в объёме; таким образом, их результирующая будет направлена вертикально вниз.
Эта сила будет создавать добавочное давление <math> \triangle P </math>, которое и описывает формула Лапласа.

<math> \triangle P = \sigma (\frac {1} {R_1} + \frac {1} {R_2}) </math>

Здесь <math> R_1 </math> и <math> R_2 </math> обозначают два радиуса кривизны мениска, взятые во взаимно
перпендикулярных плоскостях. В случае, когда капилляр круговой, эти радиусы равны и эта формула несколько упрощается:

<math> R_1 = R_2 = R \Rightarrow \triangle P = \frac {2 \sigma} {R} </math>

Мы считаем, что радиусы положительны, когда мениск выпуклый вверх, и отрицательны, когда он выпуклый вниз.


== Связь радиусов капилляра и кривизны мениска ==
'''<Требуется чертёж, без него объяснить очень сложно>'''

<math> r = -R \cos \theta </math>

== Высота поднятия жидкости в капилляре ==
Рассмотрим круговой капилляр, частично погружённый в жидкость, которая плохо смачивает его стенки. Уровень
жидкости в капилляре окажется ниже, чем уровень жидкости вне его. Попробуем установить зависимость между
свойствами жидкости (<math> \sigma, \theta, \rho </math>), капилляра (<math> \theta, r </math>) и разницей
высот жидкости внутри и вне капилляра (<math> \triangle h </math>).

По известной формуле выразим гидростатическое давление:

<math> P_h = \rho g \triangle h </math>

По формуле Лапласа выразим добавочное давление, создаваемое мениском:

<math> P_L = \frac {2 \sigma} {R} </math>

Будем считать капилляр открытым; тогда атмосферное давление с обеих сторон капилляра уравновешивается. Никакие
более силы не действуют на жидкость в капилляре, поэтому можно приравнять два давления:

<math> \rho g \triangle h = \frac {2 \sigma} {R} </math>

Поскольку немногим выше была выяснена зависимость между радиусами кривизны капилляра и мениска, воспользуемся ей:

<math> r = -R \cos \theta \Rightarrow R = - \frac {r} {\cos \theta} </math>

<math> \rho g \triangle h = - \frac {2 \sigma \cos \theta} {r} </math>

<math> \triangle h = - \frac {2 \sigma \cos \theta} {\rho g r} </math>

Рассмотрим наиболее важные частные случаи для данного уравнения:
* '''Полное несмачивание''' (<math> \theta = \pi, \cos \theta = -1 </math>) - <math> \triangle h = \frac {2 \sigma} {\rho g r} > 0 </math> - жидкость в капилляре опускается
* '''Полное смачивание''' (<math> \theta = 0, \cos \theta = 1 </math>) - <math> \triangle h = - \frac {2 \sigma} {\rho g r} < 0 </math> - жидкость в капилляре поднимается